Vecteur propre : vecteur dont la direction est inchangée si on le multiplie par une matrice \(M\)
(Vecteur, Direction, Produit matriciel)
Définition
\(\lambda\in{\Bbb R}\) est une valeur propre (de \(A\)) s'il existe \(v\in E\) tel que \(v\neq0\) et \(A(v)=\lambda v\)
\(v\in E\) est un vecteur propre (de \(A\)) si...
\(v\neq0\)
il existe \(\lambda\in{\Bbb K}\) tel que \(A(v)=\lambda v\)
Si \(x_i\) est une combinaison linéaire des vecteurs de base de \(E_{\lambda_i}\), alors \(x_i\) est un vecteur propre de \(A\)
(Combinaison linéaire, Sous-espace propre)
Propriétés
Obtenir le déterminant à partir des valeurs propres
Propriété :
Dans un corps algébriquement clos (\({\Bbb C}\) par exemple) :
$${{\operatorname{det}(A)}}={{\prod\text{val\propre}_i^{\text{multiplicité}_i} }}$$
(Déterminant)
Obtenir la trace à partir des valeurs propres
Propriété :
Dans un corps algébriquement clos (\({\Bbb C}\) par exemple) :
$${{\operatorname{trace}(A)}}={{\sum\text{val\propre}_i\times{\text{multiplicité}_i} }}$$
(Trace)
Astuces
Astuce :
Si la somme des coefficients sur chaque ligne d'une matrice valent \(\lambda\), alors \(\lambda\) est une valeur propre de cette matrice et \(\begin{pmatrix}1\\ \vdots\\ 1\end{pmatrix}\) est un vecteur propre pour \(\lambda\)